针对BS模型的这些与实际不符的假设条件,很多学者进行了修正与推广,主要地可分为两类:(1)不完美市场,包括引入交易成本及非连续避险；(2)股价收益率及波动率分布过程,采用与BS模型不同的假设。另外,也存在其它一些修正,如针对BS模型中利率固定的假设,引入随机利率模型等。
2、不完美市场 Leland(1985)
开创性地提出对BS模型采用一种修正的波动率,来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是:在连续时间的BS模型框架下,假设在给定的时间间隔进行避险调整,通过在波动率中加入包含交易成本的因素,使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本,从而对BS公式做出修正,使之仍可应用于避险操作。
Leland模型虽然比BS模型有所改进,但其策略并不是最优策略。有研究表明,这种避险策略并不能精确地避险。Whalley
和Wilmott(1997)通过对最优化系统的渐进分析,提出了一个相对容易实行的避险算法。他们提出一个决策规则,在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行避险头寸调整,从而解决巨幅累积交易成本的问题。其基本思想是,投资者的Delta避险策略由市场的运动决定,如果Delta与实际持有的资产数量的差大于投资者指定的避险带,则资产组合就需要重新调整到Delta。期权价值还是由期望收益率等于无风险利率决定。
3、股价收益率及波动率分布
虽然BS模型被广泛应用于权证的定价,但对标的股价的实证研究表明,BS模型并不能很好的刻划股价波动率的以下几方面的特征:(1)波动率微笑(Volatility
Smile)。按照BS模型的假设,隐含波动率应该与执行价无关且是常数,而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。(2)肥尾(Fat
Tails)分布,即资产收益率分布在极端情况的概率大于相应的正态分布的概率,呈现肥尾分布。(3)群聚(Clustering
Effect)现象,即波动率一个时期高而另一个时期低,且在不同时期间的变换是不可预测的。(4)均值回复(Mean
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